Zuerst einmal: Herzlich willkommen im Forum @stefanpohlmann 

150-200 E-Mails pro Tag ist eine ganze Menge - Respekt.
Deinen Ansatz E-Mails mit Datum auf die Aufgabenliste zu setzen, finde ich erstmal gut. Das mache ich selbst auch so. Aber bei so einer großen Menge an Mails wird man da immer an Grenzen kommen. Man könnte natürlich noch über einige Feinheiten nachdenken. Aber vielleicht muss man das Problem auch anders angehen.
Ich hatte den folgenden Gedanken, den ich dir einfach mal weitergeben wollte:
Mach dich nicht zur Sekretärin anderer
Man kann nicht so eine große Menge an Vorgängen händisch nachverfolgen. Was passiert, wenn du die Nachverfolgung einstellst? Oder wirklich nur dort, wo es nicht anders geht.
Kannst du es nicht auf Vertrauensbasis machen? Vertrau darauf, dass deine Kollegen dir antworten werden. Wenn das nicht klappt, hast du vielleicht ein viel größeres Problem im Unternehmen.
Lieber auch mal einen Fehler riskieren oder sehenden Auges geschehen lassen. Wenn dieselbe Person/Kollege immer wieder nicht antwortet, dann die Person freundlich ansprechen, wo das Problem liegt und wie man es lösen kann. Lass es doch mal eskalieren.
Ich würde versuchen das Problem grundsätzlich zu lösen, dass die Nachverfolgung von E-Mails (in der Regel) unnötig wird.
Wenn du Führungsverantwortung hast, würde ich klare interne Spielregeln für Antwortzeiten einführen (z. B. 1 Werktag).
Vielleicht helfen dir ja diese Gedanken…
Vielleicht haben andere aus der Community noch ergänzende Ideen?